Question

中考问题

如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）
（1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）
（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）证明无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形。若点P运动速度不变改变Q 的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值。

Answer 1

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Answer 2

（1）先证明PM∥OB，再根据相似三角形对应边成比例证明即可；利用勾股定理求出AB的长度，而AP=t，再根据对应边成比例求出AM、PM的值，P点坐标即可得到；
（2）根据三角形的面积公式，P点纵坐标与OQ的长度的积的一半就是△OPQ面积，整理后根据二次函数的最值问题求解即可；
（3）作OQ边上的高，根据△PON和△QPN相似，相似三角形对应边成比例，列式求解；
（4）根据正三角形的性质PN垂直平分边OQ，所以无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形；改变Q点速度根据正三角形的性质，0Q=2ON，PN=

3
2
OQ分别列式求解即可得到Q点运动速度和时间t．

　　（1）证明：∵∠AOB=90°，PM⊥OA，
　　∴PM∥OB，
　　∴AM：AO=PM：BO=AP：AB，
　　∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB=

　　OA2+OB2
=

　　32+42
=5cm，

　　∵AP=1•t=t，
∴

　　AM
　　3
=

　　PM
　　4
=

　　t
　　5
，∴PM=

　　4
　　5
t，OM=OA-AM=3-

　　3
　　5
t，∴点P的坐标为（

　　4
　　5
t，3-

　　3
　　5
t）；

　　（2）∵OQ=1•t=tcm，
∴S△OPQ=

　　1
　　2
×t×（3-

　　3
　　5
t）=-

　　3
　　10
t2+

　　3
　　2
t=-

　　3
　　10
（t-

　　5
　　2
）2+

　　15
　　8
，∴当t=

　　5
　　2
时，S有最大值，最大值为

　　15
　　8
；

　　（3）作PN⊥OB于N，
　　∵△OPQ为直角三角形，
　　∴△PON∽△QPN，
∴

　　PN
　　QN
=

　　ON
　　PN
，∴（3-

　　3
　　5
t）2=

　　4
　　5
t（t-

　　4
　　5
t），

　　解得t1=3，t2=15（舍去）；

（4）∵ON=

4
5
t，OQ=t，

∴0Q≠2ON，
∴无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形；
要使△OPQ为正三角形，
则0Q=2ON=

8
5
t，∴Q点的速度为

8
5
cm/s，此时3-

3
5
t=

8
5
t•

3
2
，解得t=

203-15
13 ．

Answer 3

解：（1）作PM⊥OA于M，则PM∥OB，
∴AM：AO=PM：BO=AP：AB，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB=
OA2+OB2
=
32+42
=5cm，
∵AP=1•t=t，
∴
AM
3
=
PM
4
=
t
5
，
∴PM=
4
5
t，AM=
3
5
t，
∴OM=OA-AM=3-
3
5
t，
∴点P的坐标为（
4
5
t，3-
3
5
t）；
（2）∵OQ=1•t=tcm，
∴S△OPQ=
1
2
×t×（3-
3
5
t）=-
3
10
t2+
3
2
t=-
3
10
（t-
5
2
）2+
15
8
，
∴当t=
5
2
s时，S有最大值，最大值为
15
8
cm2；
（3）存在．
理由：作PN⊥OB于N，
∵△OPQ为直角三角形，
∴△PON∽△QPN，
∴
PN
QN
=
ON
PN
，
∴（3-
3
5
t）2=
4
5
t（t-
4
5
t），
解得t1=3，t2=15（舍去）；
∴当t=3s时，△OPQ为直角三角形．

格式有限。。。如果有需要的话留下QQ