Question

定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n...

定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1
. 设A={(x，y)|f(x2)•f(y2)>f(1) B={(x，y)|f(ax-y+根2)=1，a€R}若A交B=空集，试确定a的取值范围

Answer 1

这是个大型组合题目……目测前面考抽象函数的技巧，后面又考了解析几何……
先不管后面集合交集那些，先把前面函数性质搞清楚。瞄一眼后面A集合和B集合的性质，如果做这种题做过一些会有感觉，比较f(a)、f(b)这类的a、b套在函数里面的东西，肯定要证明函数的单调性，比如单调递增的话，就可以直接从f(a)>f(b)得到a>b。还有类似的B里面左边是个f，右边是个孤立的1，因此还要算出f(?)=1才能进行我们单调性比较的思路。
总之第一步有两个任务：①研究f的单调性②算f(?)=1(只要算出一个f(a)=1了就不会有别的f(b)还等于1，这是单调性保证的）。
单调性就是比较，当x=a和a+p（p为正数）的时候的函数值，f(a+p)=f(a)f(p)，说了0＜f（x）＜1，也就是f(p)在0、1之间，乘上f(a)必然使得值变小，也就是f(a)>f(a+p)，就是自变量增加，函数值下降，是单调递减的。
f(?)=1，这个很容易猜0是不是满足，八成的题都是这么设定的。把m带成0，n随便取，那么f(n)=f(0)×f(n)所以f(0)只能=1，否则不可能对于所有的n都满足。果然猜对了，肯定是这样。

进入下一个环节，处理两个集合了。看看它们到底是什么。
根据单调性，A其实就是f(x²+y²)>f(1)，是x²+y²<1的范围，单位圆内部。
B是f(ax-y+√2)=f(0)也就是ax-y+√2=0（我们已经说过不能有两个不同的值让f(x)同时等于1，这是单调性保证的）。这是个直线y=ax+√2，固定过(0,√2)点，斜率变化，也就是绕着这个点随便转动。

从此进入第三个环节，完全和函数神马的没关系了。这完全是一个解析几何问题，直线y=ax+√2何时与单位圆x²+y²=1无交点（只要和等于1的圆周相切或者无交点，别忘了相切，必然和内部没有交点）。
那就是直接做切线了。很容易看出M(0,√2)和圆心的距离是√2，圆半径是1，必然切线长是1，这是个等腰直角三角形，如果切点是P的话，PM=1而且∠PMO=45°（O是圆心，也就是原点）。因此两边分别做个45°斜向下就是切线，斜率的范围应该让直线在这两个切线上方，就是比斜向下45°要大，但是比斜向上35°要小，因此a的范围是[-√2/2,√2/2]就做完了。别忘了a=±√2/2是相切，只和圆周有交点，和内部没有，也是满足的，也要算上。

有什么不对劲的或者不懂的可以追问。

Answer 2

先对f(x)讨论：令m=n=0 f（m+n）=f（m）•f（n）可以得到f(0)=1或者f(0)=0
当f(0)=1时候，令m+n=0且m>0那么有1=f(m)f(n) 而当x＞0时，0＜f（x）＜1所以x<0有f(x)>1
再令m>0,n>0那么显然m+n>m,f（m+n）/f(m)=f(n)<1所以当x>0时候，f(x)为减函数
再令m<0,n<0那么显然m+n<m， f(m)/f(m+n)=1/f(n)<1 所以当x<0时候，f(x)为减函数
当f(0)=0时候，令m+n=0且m>0那么有0=f(m)f(n)而当x＞0时，0＜f（x）＜1所以x<0有f(x)恒为0
f(x2)•f(y2)=f(x2+y2)>f(1)
(1)当f(0)=1时候我们可以得到 0<x2+y2<1（这个是一个圆心在原点的单位圆） 或者x2+y2<0(显然矛盾，放弃）.
而f(ax-y+根2)=1所以ax-y+根2<0 若A交B=空集观察A B的图形，我们可以得到当直线y=ax+根2在过（0，根2）和横轴平行的直线L1，过（0，根2）且和圆心在原点，半径为1的圆相切在第一象限直线L2之间时候，或者 过（0，根2）和横轴平行的直线L1，过（0，根2）且和圆心在原点，半径为1的圆相切在第二象限直线L2之间时候。A交B=空集。所以-1<=a<=1
（2）当f(0)=1时候，f(ax-y+根2)=1可以得到ax-y+根号2=0 这个是一条直线 .观察集合A B的图形，只要ax-y=0和圆不相交（可以相切）那么A且B是空集。所以-1<=a<=1