Question

在平面直角坐标系中 边长为2的正方形OABC的两顶点A,C分别在y轴，X轴的正半轴上，点O在原点。急！急！急！

在平面直角坐标系中 边长为2的正方形OABC的两顶点A,C分别在y轴，X轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x点M。BC边交x轴于点N。
（1）求边长OA在旋转过程中所扫过的面积。（过程）
（2）当正方形OABC绕O点顺时针旋转22.5°时，求证：MN∥AC（过程）
（3）设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P值是否有变化？说明理由。

Answer 1

（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，
∴OA旋转了45度．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 1/2π ．

（2）当当正方形OABC绕O点顺时针旋转22.5°时，
∴∠AOM= 22.5°．∠AOC=90°。∠MON=45°
所以∠CON=22.5°∴∠AOM=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM ≌△OCN
∴∠AMO=∠OCN且OM=ON
故∠OMN=∠ONM
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45度．
所以MN∥AC

（3）证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
∴△OAE ≌△OCN．
∴OE=ON，AE=CN．
又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，
∴△OME ≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．