Question

设f(x)是定义在R连续的偶函数，且当x>0时，f(x)为单调函数，则满足f(x)=（x+3/x+4） 的所有x 之和为

设f(x)是定义在R连续的偶函数，且当x>0时，f(x)为单调函数，则满足f(x)=（x+3/x+4） 的所有x 之和为
当x>0,f(x)为单调函数
而f(-x)=f(x)
所以：当x<0,f(x)也为单调函数

f(x)=f((x+3)/(x+4))
则：x=(x+3)/(x+4)
x(x+4)=x+3
x^2+3x-3=0
x1+x2=-3

或者：-x=(x+3)/(x+4)
-x(x+4)=x+3
x^2+5x+3=0
x1+x2=-5
这些我知道， 但不是因为f(-x)=f(x) ,应还有所求的X的值的相反数的函数值也与其相等么？？这样所有X相加不就得0了么？？请问这样想哪里错了？ 求详解 万分感谢

Answer 1

这样想是你把题目要求的东西搞混了。
题目要求满足f(x)=f[(x+3)/(x+4)]的x的值，f(-x)=f(x)是没错，但只能保证f(x)=f[(x+3)/(x+4)]左边部分值不变，右边没法保证，因为(-x+3)/(-x+4)不一定等于x或-x。f(x)=f[(x+3)/(x+4)]中的x是同一个x，你把左边的x换了，右边的x也要换。你再想想如果是f[(x+3)/(x+4)]=f[(x+1)/(x+2)]的话，你把x变成-x，可能两边的值都会变。题目中的x要具体到它给的x，是(x+3)/(x+4)中的x，不是把(x+3)/(x+4)当成一个整体的x。
其实你解答的过程中已经把情况考虑完了，按照那样的分类就那两种情况。要想使用f(-x)=f(x)，必须把f里面的整个都“负”掉，如(x+3)/(x+4)“负”掉是-[(x+3)/(x+4)]。