Question

已知函数f(x)=x²+2+3/x,(x∈[2,+∞)) 1.证明函数f(x)为增函数2.求f（x）的最小值。 求证明要过程

Answer 1

解答：
f(x)?
是 f(x)=(x²+2x+3)/x=x+3/x+2
（1）证明：
在[2,+∞）上任取x1,x2
设2≤x1<x2
则f(x1)-f(x2)
=(x1+3/x1+2)-(x2+3/x2+2)
=(x1-x2)+(3/x1-3/x2)
=(x1-x2)+3(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)*(x1x2-3)/(x1x2)
∵ 2≤x1<x2
∴ x1-x2<0, x1x2-3>0,x1x2>0
∴ f(x1)-f(x2)<0
∴ f(x1)<f(x2)
函数f(x)为增函数
（2）由（1）最小值为f(2)=2+3/2+2=11/2

Answer 2

已知函数f(x)=x²+2x+3/x,(x∈[2,+∞))
f(x)=x+3/x+2
x+3/x>=2√3
x=√3时取得f(x)=2√3
所以f(x)在（√3，+无穷上是增函数，所以
（1）函数f(x)为增函数
（2）因为函数f(x)为增函数，所以x=2 最小值=11/2