Question

关于立体几何求二面角的题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，角ABC=π/4，PA⊥底面ABCD，PA=2，M为PA的中点，N为BC的中点。
求二面角A-PD-C的大小

Answer 1

在底面ABCD上作CH⊥AD，H是垂足，在平面PAD上作HE⊥PD，连结CE，
∵PA⊥平面ABCD，PA∈平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵CH⊥AD，
∴CH⊥平面PAD，（若两平面垂直，则一个平面垂直交线的直线垂直另一平面），
∵HE⊥PD，
∴根据三垂线定理，CE⊥PD，
∴〈HEC是二面角A-PD-C的平面角，
∵〈ADC=〈ABC=45°，
∴△CDH是等腰RT△，
∴CH=HD=cos<ADC*CD=√2/2，
∵PA⊥平面ABCD，AD∈平面ABCD，
∴PA⊥AD，
根据勾股定理，
PD=√5，
sin<ADP=PA/PD=2/√5=2√5/5，
在RT△HED中，
HE/HD=sin<ADP=2√5/5，
∴HE=（√2/2）*2√5/5=√10/5，
在RT△CHE中，
tan<CEH=CH/HE=(√2/2）/（√10/5）=√5/2。
<CEH=arctan(√5/2）
∴二面角A-PD-C的大小为arctan(√5/2）。

Answer 2

过点C作CO垂直AD于点O，过点O作OQ垂直PD于点Q，连接CQ。。在三角形COQ中角CQO即为所求。。。。可以求得CO=（根2）/2。。。。OQ=（根2）/2*AT
（过A作AT垂直PD于T， AT=2/（根5）） 所以tan角CQO=OC/OQ=（根5）/2 所以叫CQO=arctan（根5）/2

追问

为什么OQ=（根2）/2*AT？

追答

过A作AT垂直PD于T,在三角形ATD中OQ平行AT，所以OQ/AT=OD/AD。。。又因OD=（根2）/2，AD=1，所以OQ=（根2）/2*AT