请问这个微分方程答案为什么不带绝对值

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adrxy
2012-10-02 · TA获得超过2595个赞
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  如果猜的不错的话,你高中数学应该学的不错,中学数学特别是高考数学,出题一般比较严谨,很少出现这样那样的漏洞,但是,当你上了大学以后豁然发现,好多问题都有漏洞,其实,这都比较正常,因为大学及以上问题较深、较多,很做到尽善尽美,特别是一些不重要的细节能省则省。
例如,你提到的问题,似乎解微分方程只关心得到原函数的解析式,中间过程能省则省。但也不是完全没有道理,事实上,期间充满了技巧性,比如你提到的第一个问题:积分后ln里不带绝对值,我们可以理解为最后结果整理结果后C往往是所有实数,考虑绝对值和不考虑绝对值的结果都是一样的!先回答第二个问题,再就你的例子举例说明:积分后的常数为什么是lnC,①这里可以用lnC,因为lnC可以取值到全体实数,但C²不行,因为这里C²只能取到全体非负实数;②用lnC很大的方便了其与lntanx的合并。
下面以你的问题举例:||
由 [(secy)^2/tany]dy=-[(secx)^2/tanx]dx
得 [1/tany]d(tany)=-[1/tanx]d(tanx)

若考虑绝对值:则 ln|tany|=-ln|tanx|+lnC1=ln[C1/|tanx|],
即有ltany|=[C1/|tanx|],tany=±C1/tanx,tanytanx=±C1
令C=±C1,则方程解为tanytanx=C

若不考虑绝对值:则lntany=-lntanx+lnC=ln(C/tanx),tany=C/tanx,
方程解为tanytanx=C

可以看出,考虑和不考虑绝对值,得出解的形式是相同的,似乎两个结论中的C取值范围不同,但若只考虑取值同时注意tany和tanx值域为R,则可以要求C取一致的取值范围,但曲线函数还是不同,这就是大学中好些问题不能尽善尽美之处,可这并不影响数学本身的魅力。
本人拙见,希望能帮到你!两节快乐!
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ctopggy
2012-10-01 · TA获得超过949个赞
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[(secy)^2/tany]dy=-[(secx)^2/tanx]dx
[1/tany]d(tany)=-[1/tanx]d(tanx)
tany,tanx都属于R
故上述问题等价于
(1/y)dy=(-1/x)dx
得lny=-lnx+c
1、所以你的问题是问为什么(1/y)dy=lny而不是(1/y)dy=ln|y|,很简单,因为有隐含条件!一般情况下,y定义域默认为y>0。
2、无论是c还是lnc,它们都只表示一个常数项,用啥都行的,不用纠结。。
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goaha
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呵呵,因为你要最后一定要消了ln,那前面会有个c,如果你带绝对值,c>0,而去了绝对值,那就变正负皆可了。呵呵,所以一般不加。
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