Question

如图 在直角梯形ABCD中,AD‖BC,BC⊥CD，∠B=60°。

（1）求证：四边形AFCD是矩形；（2）当AD=3时，试求DE的长。

Answer 1

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠B=60°，BC=2AD，E、F分别为AB、BC的中点．
（1）求证：四边形AFCD是矩形；
（2）求证：DE⊥EF．
证明：（1）∵F为BC的中点，
∴BF=CF=1/2BC，
∵BC=2AD，
即AD=1/2BC，
∴AD=CF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵BC⊥CD，
∴∠C=90°，
∴平行四边形AFCD是矩形；
（2）∵四边形AFCD是矩形，
∴∠AFB=∠FAD=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAF=30°，
∴∠EAD=∠EAF+∠FAD=120°，
∵E是AB的中点，
∴BE=AE=EF=1/2AB，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BEF=60°，BE=BF=AE，
∵AD=BF，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE=(180°-120°)/2=30°
∴∠DEF=180°-∠AED-∠BEF=180°-30°-60°=90°．
∵AD=3
∴BF=CF=1/2BC=3
∵∠BAF=30°
∴AB=2AE=2BE=2BF=6
∴AF=√(AB²-BF²)=√(6²-3²)=3√3
∴BE=BF=3，∠B=60°
∴△BEF是等边三角形
∴BF=BF=3
连接DF
∴DF=√(AF²+AD²)=√((3√3)²+3²)=6
在Rt△DEF中
DE²=DF²-EF²=6²-3²=27
∴DE=3√3

Answer 2

证明：（1）∵F为BC的中点，
∴BF=CF=12BC，
∵BC=2AD，
即AD=12BC，
∴AD=CF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵BC⊥CD，
∴∠C=90°，
∴▱AFCD是矩形；

（2）∵四边形AFCD是矩形，
∴∠AFB=∠FAD=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAF=30°，
∴∠EAD=∠EAF+∠FAD=120°，
∵E是AB的中点，
∴BE=AE=EF=12AB，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BEF=60°，BE=BF=AE，
∵AD=BF，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE=180°-120°2=30°，
∴∠DEF=180°-∠AED-∠BEF=180°-30°-60°=90°．
∴DE⊥EF

Answer 3

条件不够吧？F是什么条件确定的点，怎么确定AF⊥BC？