Question

已知函数f(x)=1/x+1 ①求证函数f(x)在区间(-1,正无穷)上单调递减

②若f(x)≤a在区间[0,正无穷]上恒成立，求a的取值范围

Answer 1

第一问的3种解法：

1. 移动图形不改变单调性，所以f(x)在(-1,正无穷)与y=1/x在(0,正无穷)的单调性相同，y=1/x在(0,正无穷)上单调递减，所以f(x)在(-1,正无穷)上单调递减

2. 对f(x)求导，f'(x)=-1/(1+x)^2<0,所以f(x)在(-1,正无穷)上单调递减

3. 按定义，任取x,y属于(-1,正无穷)且令x<y,则f(x)-f(y)=1/(x+1)-1/(1+y)=(y-x)/((x+1)(y+1))>0

   即f(x)>f(y),所以f(x)在(-1,正无穷)上单调递减

第二问：

a只要大于等于f(x)的最大值就可以恒成立了

f(x)单调递减，最大值是f(0)=1

所以a≥1

Answer 2

1.f(x)'=x+1-1/（x+1)^2
=x/(x+1)^2
f(x)﹤0
x1=0 x2=-1
所以f(x)在区间(-1,正无穷)上单调递减
2.若f(x)≤a在区间[0,正无穷]上恒成立，则f(x)要在区间[0,正无穷]上比其最小值还要小
所以a<0

Answer 3

①求证函数f(x)在区间(-1,正无穷)上单调递减 证明：因为f(x)=1/x+1 所以导函数=-1/（x+1）²显然当x∈（-1，+∞）时导函数-1/（x+1）²＜0所以函数在区间x∈（-1，+∞）时单调递减 ②若f(x)≤a在区间[0,正无穷]上恒成立，求a的取值范围因为f(x)≤a在区间[0,+∞]上恒成立所以有1/x+1≤a在区间[0,+∞]上恒成立解得 a∈（0,1）

Answer 4

我们知道f(x)=1/x,在（0，正无穷）是递减的，用x+1代替x,则x+1在（0，正无穷）是递减的，所以x在（-1，正无穷)上单调递减。

因为f（x)在（-1，正无穷)单调递减，所以要使在区间[0,正无穷]上恒成立，则a大于等于1.

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