Question

a＋b＋c＝1求证a²＋b²＋c²≧1／3

Answer 1

证明：
∵ a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
c²+a²≥2ca
以上三个式子相加
2(a²+b²+c²)≥2ab+2bc+2ac
两边同时加上a²+b²+c²
则 3(a²+b²+c²)≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
即 3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²=1
∴ a²＋b²＋c²≧1／3

Answer 2

由题意得(a+b+c)²=1²=1 ，所以a²＋b²＋c²≧(a+b+c)²/3
将不等式两边同时乘3 用不等式性质2得 3(a²+b²+c²)≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
再用不等式性质1将右边的代数式移到左边 得2(a²+b²+c²)-2ab-2bc-2ac≥0
再变形为a²+b²+c²+a²+b²+c²-2ab-2bc-2ac=（a-b)²+(b-c)²+(a-c)²
因为任何有理数的平方均为非负数 所以（a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0成立
即a²＋b²＋c²≧1／3成立。