Question

已知1/3≤a≤1，若函数f(x)=ax²-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M（a),最小值为N（a)，令g(a)=M(a)-N(a)

①求g(x)的函数表达式
②判断函数g(x)在区间[1/3,1]上的单调性，并求出g(a)的最小值

Answer 1

①
对称轴为：
x=1/a
对称轴为：
x=1/a
因为，1/3≤a≤1==》1≤1/a≤3
(1)
当1≤1/a<2时，即a∈(1/2,1]时，
函数在区间【1，3】上先减后增，且减区间长度少于增区间长度，
所以
M(a)=f(3)=9a-5
m(a)=f(a)=a³-2a+1
g(a)=-a³+11a-6
(2)
当2≤1/a≤3时，即a∈[1/3,1/2]时，
函数f(x)在区间【1，3】上先减后增，且减区间长度多于增区间长度，
所以
M(a)=f(1)=a-1
m(a)=f(a)=a³-2a+1
g(a)=-a³+3a-2

g(a)={-a³+3a-2 a∈[1/3,1/2
{-a³+11a-6 a∈(1/2,1]
②
当 a∈[1/3,1/2
g '(a)=-3a²+3=-3(a²-1)>0,函数g(a)单调增，
该区间上的最小值为g(1/3)=-28/27
当 a∈(1/2,1]
g '(a)= - 3a²+11>0，g(a)单调增，
该区间上的最小值为：g(1/2)=-5/8
整个区间上的最小值为
-5/8