Question

已知函数f(x)=(ax2+1)/(bx+c)为奇函数(a,b属于N+)，f(1)=2,f(2)<3

已知函数f(x)=(ax2+1)/(bx+c)为奇函数(a,b属于N+)，f(1)=2,f(2)<3. （1）求f（x）的解析式； （2）当x小于0时，确定f（x）的单调递增区间，并证明。 第一问很简单，a和b等于1，c等于0，第二问最后化简不到…

Answer 1

(1)
由题意得f（-x）=(ax²+1)/（-bx+c）
∵f（x）是奇函数
∴f（x）=-f（x）
∴(ax²+1)/（bx+c）=(ax²+1)/（bx-c）
∴bx+c=bx-c
∴c=0
∵f（1）=2
∴(a+1)/b=2
∴a+1=2b，即a=2b-1
∵f(2)=(4a+1)/2b＜3
∴将a=2b-1代入上式得
得(8b-3)/(2b)<3
∴0<b＜3/2
又∵a,b,c∈Z
∴b=1
∴a=2*b-1=1
综上，a=1，b=1，c=0

(2)f(x)=x^3+x,令x1<x2<0,
f(x2)-f(x1)=x2^3-x1^3+x2-x1=(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2+1)
x2-x1>0 x2^2>0 x1x2>0 x1^2>0 所以f(x2)-f(x1)>0,所以f(x)在区间单调递增
注明:x1^3代表x1的3次方

Answer 2

(1)
由题意得f（-x）=(ax²+1)/（-bx+c）
∵f（x）是奇函数
∴f（x）=-f（x）
∴(ax²+1)/（bx+c）=(ax²+1)/（bx-c）
∴bx+c=bx-c
∴c=0
∵f（1）=2
∴(a+1)/b=2
∴a+1=2b，即a=2b-1
∵f(2)=(4a+1)/2b＜3
∴将a=2b-1代入上式得
得(8b-3)/(2b)<3
∴0<b＜3/2
又∵a,b,c∈Z
∴b=1
∴a=2*b-1=1
综上，a=1，b=1，c=0

(2)f(x)=x^3+x,令x1<x2<0,
f(x2)-f(x1)=x2^3-x1^3+x2-x1=(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2+1)
x2-x1>0 x2^2>0 x1x2>0 x1^2>0 所以f(x2)-f(x1)>0,所以f(x)在区间单调递增
注明:x1^3代表x1的3次方