Question

已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x²-2x，则在R上函数f(x)的表达式为？

1、y=x(x-2) 2、y=x(︱x︱+2) 3、y=︱x︱(x+2) 4、y=x(︱x︱-2)
请帮忙写出解题过程。

Answer 1

答案是第4个
可以先用排除法排除第1个和第2个答案的，x≥0时的方程不吻合
由奇函数得到，f(x)=-f(-x)
x＜0时，-x＞0，f(-x)=(-x)^2-2*(-x)=x^2+2x
f(x)=-x^2-2x=x(-x-2)
x≥0时，f(x)=x^2-2x=x*(x-2)
即，f(x)=x(︱x︱-2)

Answer 2

应该选4.因为f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x).又因为当x≥0时，f(x)=x²-2x，∴设x≥0。有f(x)=x²-2x，-x≤0，且
f(-x)=-x²+2x.∴在R上y=x(︱x︱-2)

Answer 3

设x<0 则-x>0
∴f(-x)=x²+2x

∵f(x)是奇函数

∴f(x)=-f(-x)=-x²-2x (x<0)

∴选4

追问

设x0
∴f(-x)=x²+2x

∵f(x)是奇函数

∴f(x)=-f(-x)=-x²-2x (x<0)
之前我明白
但为什么选4？

追答

排除法最简单
显然不管是x<0还是x≥0 解析式的后面都是-2x
所以显然2 3排除掉
1 4中显然1是不对的 所以只有4了

又或者可以把1 2 3 4都分情况写出来看哪一个跟求出来的一致
对于4来说
x≥0时 绝对值直接去掉 所以y=x²-2x
x<0时 绝对值去掉要加负号 所以y=-x²-2x