Question

在三角形ABC中,BA=BC,∠BAC=a,M是AC中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时

在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全

图形，并写出∠CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；

Answer 1

（1）∠MCQ=（180°-60°）/2=60°，∠CDB=180°-90°-60°=30°

(2)连接CP、AD，△BAP≌△BCP，△MAP≌△MCP，△MAD≌△MCD

PA=PC=PQ，∠PCQ=∠PQC=∠PAD

∠PQD+∠PAD=∠PQD+∠PQC=180°，∠CDB=360°-（∠PQD+∠PAD）-∠APQ=180°-2α

追问

你咋会捏

追答

同道中人，何足挂齿

Answer 2

解：（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，AM=MC，
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，
∴AM=MQ，∠AMQ=120°，
∴CM=MQ，∠CMQ=60°，
∴△CMQ是等边三角形，
∴∠ACQ=60°，
∴∠CDB=30°；

（2）如图2，连接PC，AD，
∵AB=BC，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，
∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，
在△APD与△CPD中，
∵

AD=CD PD=PD PA=PC

，
∴△APD≌△CPD，
∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠3=∠PAD，
∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，
∴∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°，
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α，
∴2∠CDB=180°-2α，
∴∠CDB=90°-α；

（3）如图1，延长BM，CQ交于点D，
∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∵点P在线段BM上运动，∠BAD最大为2α，∠MAD最大等于α，
∴2α＞180°-2α＞α，
∴45°＜α＜60°

Answer 3

解：（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，AM=MC，
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，
∴AM=MQ，∠AMQ=120°，
∴CM=MQ，∠CMQ=60°，
∴△CMQ是等边三角形，
∴∠ACQ=60°，
∴∠CDB=30°；

（2）如图2，连接PC，AD，
∵AB=BC，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，
∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，
在△APD与△CPD中，
∵AD=CDPD=PDPA=PC​，
∴△APD≌△CPD，
∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD，
∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，
∴∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°，
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α，
∴2∠CDB=180°-2α，
∴∠CDB=90°-α；

Answer 4

解：（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，AM=MC，
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，
∴AM=MQ，∠AMQ=120°，
∴CM=MQ，∠CMQ=60°，
∴△CMQ是等边三角形，
∴∠ACQ=60°，
∴∠CDB=30°；
（2）如图2，连接PC，AD，
∵AB=BC，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，
∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，
在△APD与△CPD中，
∵
AD=CDPD=PDPA=PC
，
∴△APD≌△CPD，
∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，

∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠3=∠PAD，
∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，
∴∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°，
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α，
∴2∠CDB=180°-2α，
∴∠CDB=90°-α；

Answer 5