Question

AB是圆的直径，点C在AB的延长线上，CD切圆于点D，过点D作DF⊥AB于点E，交圆于点F，已知，OE=1，DF=4

求：CD的长

Answer 1

连接OD
∵AB是直径，DF⊥AB
∴根据垂经定理：DE=EF=1/2DF=2
∴半径：OD=OB=√（OE²+DE²）=√（1+2²）=√5（勾股定理）
∵CD是圆的切线
∴OD⊥CD
∴根据射影定理：OD²=OE×OC(可以证明△DOE∽△COD得出）
OC=(√5)²/1=5
∴BC=OC-OB=5-√5
AC=OC+OA=5+√5
∴根据切割线定理：CD²=BC×AC=(5-√5)(5+√5)=20
∴CD=2√5

Answer 2

连接OD，则OD⊥CD
∵OE=1，DF=4，DF⊥AB
∴OD=√5
∵∠OED=∠ODC=90º，∠DOE=∠COD.
∴ΔOED∽ΔODC
∴OE/DE=OD/CD,
∴CD=2√5

解法二
由射影定理 OD²=OE·OC
得OC=(√5)²×1=5
∴CD=√(OC²-OD²)=√[5²-(√5)²]=√20=2√5

Answer 3

解:∵直径AB垂直DF.
∴DE=DF/2=2,
OD=√(OE^2+DE^2)=√5.
连接OD,CD为切线,则OD垂直于CD.
∵ ∠OED=∠ODC=90度;
∠DOE=∠COD.
∴⊿OED∽⊿ODC,
OE/DE=OD/CD,
1/2=√5/CD,
CD=2√5cm.

追问

⊿OED∽⊿ODC,.这怎么可能呢，大小不等啊