Question

定义域在R上的函数f(x)满足：1.对任意实数x,y属于R有f(x+y)=f(x)+f(y) 2.当x>0时，f(x)<0且f（1）=-2

1.求证f(0)=0
2.判断函数f(x)的单调性并证明
3.解不等式f(x2-2x)-f(x)大于等于-8

Answer 1

　　本题理解的第一个关键是：对任意实数x,y属于R有f(x+y)=f(x)+f(y) 是一个等式的恒成立问题．式子中的x,y可以取任意实数．所以都取0,第一问证得．
　　本题理解的第二个关键是：函数单调性的定义．当x1<x2时，f(x1)<f(x2)是增函数（减函数类似）．联想到已知条件中的当x>0时，f(x)<0．须将定义等价转化为：x2-x1>0时，f(x1)-f(x2)<0是增函数．这就需要将已知的等式f(x+y)=f(x)+f(y)转化成＂一＂的形式：f(x+y)-f(x)=f(y)后，只须令x+y=x2，x=x1，则y=x2-x1，即可得到f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)．因为x2-x1>0，所以f(x2-x1)<0，所以f(x2)-f(x1)<0，所以f(x)为减函数．
　　本题理解的第三个关键是：要解的不等式是一个函数不等式，它的标准形式为f(??)>f(???),然后就可以利用函数的单调性脱去函数符号（同时要考虑定义域），即可实现转化．而本题的不等式要先化标准（化标准是数学解题的关键，要好好掌握呦）－8化为f(4),则有：f(x^2-2x)>＝f(x)+f(4),
即为：f(x^2-2x)>＝f(4+x)等价于x^2-2x＜＝4+x,解得：-1≤x≤4.

Answer 2

1.f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),f(0)=0
2.0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)
f(-x)=-f(x)
设任意实数 x1,x2 且x1>x2， x1-x2>0
f(x1-x2)<0,f(x1)-f(x2)<0
s所以f(x)在R上是减函数，
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-4,
f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=-8
f(x^2-2x)-f(x)≥-8=f(4)
f(x^2-2x-x)≥f(4)
x^2-3x≤4, x^2-3x-4≤0
(x+1)(x-4)≤0
-1≤x≤4.

Answer 3

1、f(0+0)=f(0)+f(0)，故f(0)=0
2、任取a>b
f(a)-f(b)=f(a-b)<0 （因为f(a)=f(b)+f(a-b)以及x>0时，f(x)<0）
因此单调减
3、f(2)=f(1)+f(1)=-4
f(4)=f(2)+f(2)=-8
f(x^2-2x)-f(x)=f(x^2-3x)>=-8=f(4)
因为单调减
x^2-3x<=4
下面不难了吧。