Question

分离参数法解参数范围解题出错（请仔细看疑问）

（先看一下下面的题，我的疑问是，为什么我用分离参数解第二题出错，解出来a<5/2或a>4，而正确答案是【5/2,4】,为什么我用复合函数性质解第一题出错？）

设f(x)=2*X^2(平方) / x+1,g(x)=ax+5-2a(a>0)
（1）求f（x）在x∈[0,1]上值域；
（2）若对于任意X1∈【0,1】，总存在x0∈【0,1】使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围

Answer 1

第一题用分离常数，f(x)=2*[（x+1）+1/(x+1)-2]，令x+1=t，在[0,1]上t∈[1,2]，t+1/t∈[2,5/2]故f(x)∈[0,1]
应该没有什么问题吧……
第二问题意翻译过来就是说，记f(x)在[0,1]上值域是F，g(x)在[0,1]上值域为G，就要满足F是G的子集
显然a≠0，g(x)是单调函数，因此只需考虑g(0)和g(1)的值即可。g(0)=5-2a，g(1)=5-a
当a>0，则g(x)递增，因此满足g(0)=5-2a≤0且5-a≥1，即a∈[5/2,4]
当a<0，则g(x)递减，因此满足g(0)=5-2a≥1且5-a≤0，是空集
综上，a∈[5/2,4]
不知道您用分离参数是怎么做的，能否从上述做法中看出自己哪里有漏洞……如果看不出来的话，希望您将解法附在下面，我帮您看看……

追问

我这么做的：
由已知得：
0=4，非常奇葩.....

追答

是这样的，这个题不应该这么做
这样解了表示的含义是什么呢？

因为题目要求的是对于任意的x1∈[0,1]，存在一个x0∈[0,1]使得g（x0）=f（x1）成立，亦即是说对于任意[0，1]上的实数n，都存在一个x0∈[0,1]使得g（x0）=n，而不是说要使g(x)在[0,1]上恒属于[0,1]
像你这样解的话就恰好选到补集上了

追问

第一题不是求出来f（x）在【0,1】上值域为【0,1】吗？

追答

你的做法是g(x)∈[0,1]在x∈[0,1]时恒成立
这样子g(x)在[0,1]上的值域就是[0,1]的一个子区间
而题目要求的是[0,1]是g(x)在[0,1]上值域的一个子区间
恰好是相反的
所以分离参数会解出错误的解集，而这个错误解集恰好是正解的补集

仔细品味一下题意吧