一道高一集合数学题

如果对于一个集合中任意两个元素,做某种运算后的结果仍在这个集合中,则称该集合对此运算是封闭的,已知A={0,1},B={y|y=m+n√2,m,n∈Z},试判断A,B对加... 如果对于一个集合中任意两个元素,做某种运算后的结果仍在这个集合中,则称该集合对此运算是封闭的,已知A={0,1},B={y|y=m+n√2,m,n∈Z},试判断A,B对加,减,乘,除四种运算是否封闭,为什么?

请写出答案与解题思路,谢谢!!
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百度网友557dcf88b
2012-10-01 · TA获得超过1.4万个赞
知道大有可为答主
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对A进行考察:
加法:∵1+1=2∉A,∴不封闭
减法:∵0-1=-1∉A,∴不封闭
乘法:∵0×0=0×1=0∈A且1×1=1∈A,∴封闭
除法:∵0÷0∉A,∴不封闭
对B进行考察:
任设p、q∈B且p=a+b√2,q=c+d√2
加法:∵p+q=(a+c)+(b+d)√2∈B,∴封闭
减法:∵p-q=(a-c)+(b-d)√2∈B,∴封闭
乘法:∵pq=(ac+2bd)+(ad+bc)√2∈B,∴封闭
除法:p/q=【(ac-2bd)+(bc-ad)√2】/【c²-2d²】
若c²-2d²=0,则c=√2d,c、d中至少有一个不属于Z或者都为0
前者与题意矛盾舍去,由后者可得不封闭
halouhalou002
2012-10-01 · TA获得超过202个赞
知道答主
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读懂题意先
集合A就两个元素 0 1
则加 0+1=1 1属于A 故可以
减 注意 1-0=1 虽可以 但封闭集合强调是任意都 因为0-1=-1 所以不可以
乘 同理 1x0=0 可以
除 1/0无意义 不考虑 0/1=0 故可以
对于集合B
此为抽象集合 可设求解
设y1=m1+ √2n1
y2=m2+√2n2
加 y1+y2=m1+√2n1+m2+√2n2 = (m1+m2)+√2(n1+n2 ) 故可以
减 同理 y1-y2=(m1-m2)+√2(n1-n2 ) 故可以
乘 y1 x y2 =(m1m2+2n1n2)+√2(m1n2+m2n1) 故可以

除 yi/y2 = (m1+ √2n1)/(m2+√2n2)
分子分母同乘(m2-√2n2)
得 yi/y2 =(m1m2+2n1n2)/(m2^2-2n2^2) +√2(m1n2+m2n1) /(m2^2-2n2^2)
对于 (m1m2+2n1n2)/(m2^2-2n2^2 和 √2(m1n2+m2n1) /(m2^2-2n2^2)
无法化解成最简整数
所以不符合集合B的要求 故不可以
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十点一十二
2012-10-01 · 超过12用户采纳过TA的回答
知道答主
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A 0-1=-1 减法不封闭 其他封闭
B 算一下 (a+b√2)/(c+d√2 )和 ( a+b√2)*(c+d√2) 结果都是m+n√2的形式
容易看出 (a+b√2)-(c+d√2 )和 ( a+b√2)+(c+d√2)也有m+n√2的形式 所以B对四种运算全都封闭
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