Question

如图所示，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90，E, F是BC上的点

如图所示，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90，E, F是BC上的点，且∠EAF＝45请说明BE²+CF²＝EF²

Answer 1

以题意做图见上，

证明：

把△ACF绕A点旋转90°，使AC和AB重合，设点F旋转到点G；

 

则有：△ABG ≌ △ACF ，

 

可得：AG = AF ，BG = CF ，∠GAB = ∠CAF ，

 

∠ABG = ∠ACF = 45° ，

 

则有：∠EAG = ∠EAB+∠GAB 

 

= ∠EAB+∠CAF 

 

= 90°-∠EAF = 45° = ∠EAF ；

 

∵在△EAG和△EAF中，AG = AF ，∠EAG = ∠EAF ，AE为公共边，

 

∴△EAG ≌ △EAF ，

 

∴EG = EF

 

∵∠EBG = ∠ABC+∠ABG = 90° ，

 

∴△EBG是直角三角形，

 

根据勾股定理有BE²+BG² = EG² ，

 

即有：BE²+CF² =EF² 。