Question

函数的值域

求下列函数的值域
(1)y=3/(x²-3x+2)

(2)y=4x-√﹙2x-1﹚
(3)y=(2-x²)/(2x²+1)
请写出详细过程，谢谢。

Answer 1

1)y=3/(x²-3x+2)
t=x²-3x+2=(x-3/2)²-1/4
∴-1/4≤t<0,或t>0
3/t≤-12或t>0
∴函数值域为(-∞,-12]U(0,+∞)

(2)y=4x-√﹙2x-1﹚
设t=√(2x-1)≥0,x=(t²+1)/2
∴y=2t²-t+2=2(t-1/4)²+15/8
∴t=1/4时，ymin=15/8
∴函数值域为[15/8,+∞)

(3)

y=(2-x²)/(2x²+1)
设2x²+1=t≥1
x²=(t-1)/2
∴y=[2-(t-1)/2]/t
=[5-t]/(2t)
=5/(2t)-1/2
∵t≥1 ∴5/(2t)∈(0,5/2]
∴5/(2t)-1/2∈(-1/2,2]
所以，值域是(-1/2,2]

Answer 2

第一个直接做：分母的范围是[-1/4,0)U(0,+∞)，取倒数是(-∞,-4]U(0,+∞)
再乘3，值域是(-∞,-12]U(0,+∞)；
第二个换元法，令t=√﹙2x-1﹚，然后变为二次函数；

第三个，反解x²：2yx²+y=2-x²
(2y+1)x²=2-y
x²=(2-y)/(2y+1)≧0
得：-1/2<y≦2
所以，值域是(-1/2,2]

祝开心！希望能帮到你~~

追问

第一题：1.”第一个直接做“是什么意思？
2.分母的范围是怎么求出的？
请详细说明一下，谢谢。

Answer 3

1）判别式法；
2）换元法；
3）判别式法