Question

设n阶实对称矩阵A的每一行元素之和都等于零,且A有一个n-1阶子式不等于零。证明A的伴随矩阵中每一个元素

设n阶实对称矩阵A的每一行元素之和都等于零,且A有一个n-1阶子式不等于零。证明A的伴随矩阵中每一个元素均相

Answer 1

电灯剑客
的回答很经典啊。。。

简单解释下
1关于符号
span{e}，由{e}张成，在空间就是生成空间。adj(A)就是A的伴随矩阵

2首先Ax=0的解空间是一维的，并且就是span{e}，其中e是分量全为1的列向量
注意到A的每一行元素之和都等于零，故显然其有一个特征值为0，对应的特征向量为（1,1,...,1)^T
注意到0（1,1,...,1)^T=0

3再利用A*adj(A)=det(A)I=0得adj(A)的每一列都属于span{e}
AB=0的话，B的每一个列向量属于AX＝0的解空间。

Answer 2

首先Ax=0的解空间是一维的，并且就是span{e}，其中e是分量全为1的列向量

再利用A*adj(A)=det(A)I=0得adj(A)的每一列都属于span{e}
再注意adj(A)的对称性即得结论