Question

求高手做一道高中数学计算题（关于几何的）20

Answer 1

这题可采用坐标与向量来做，省时省力。
以BA、BD、BE为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则 A（2，0，0），B（0，0，0），D（0，3，0），E（0，0，√3），F（1，0，√3），
C（-2，3，0），M（0，3/2，0）。
（1）EM=BM-BE=（0，3/2，-√3），
FA=BA-BF=（1，0，-√3），FD=BD-BF=（-1，3，-√3），
由于 EM=1/2*FA+1/2*FD ，
因此 EM//平面ADF 。
（2）AF=BF-BA=（-1，0，√3），AD=（-2，3，0），
所以平面 ADF 的法向量可取 n1=AF×AD=（-3√3，-2√3，-3），
因为 BA=（2，0，0），所以平面 ABF 的法向量可取 n2=AF×BA=（0，2√3，0），
所以，由 cos<n1，n2>=n1*n2/(|n1|*|n2|)=(-12)/(√48*2√3)= -1/2 ，
得 D-AF-B 的大小为 60° 。
（3）设 P（0，0，z），其中 0<z<√3 ，
则 CP=BP-BC=（2，-3，z），而 AF=（-1，0，√3），
令 cos<CP，AF>=CP*AF/(|CP|*|AF|)=(-2+√3*z)/[2*√(z^2+13)]=√3/2 ，
解得 z 无解 ，
因此不存在这样的 P 。