在△ABC中,B=π/4,AC=2√5,cosC=(2√5)/5.求sinA

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飘渺的绿梦2
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方法一:
∵cosC=2√5/5>0,∴C是锐角,又B=45°,∴可过A作AD⊥BC交BC于D。
显然有:cosC=CD/AC=2√5/5,∴CD=(2√5/5)AC=(2√5/5)×2√5=4。
∴AD=√(AC^2-CD^2)=√(20-16)=2。
∵∠B=45°、AD⊥BD,∴BD=AD=2、AB=2√2,∴BC=BD+CD=2+4=6。

∴由余弦定理,有:
cos∠BAC=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB×AC)=(8+20-36)/(2×2√2×2√5)=-1/√10,
∴sin∠BAC=√[1-(cos∠BAC)^2]=√(1-1/10)=3/√10=3√10/10。

方法二:
∵cosC=2√5/5>0,∴C是锐角,又B=45°,∴可过A作AD⊥BC交BC于D。
∵cosC=2√5/5,∴sin∠CAD=cosC=2√5/5,cos∠CAD=√[1-(sin∠CAD)^2]=1/√5。
∵∠B=45°、AD⊥BD,∠BAD=45°,∴sin∠BAD=cos∠BAD=1/√2。

∴sin∠BAC
=sin(∠BAD+∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD+cos∠BADsin∠CAD
=(1/√2)×(1/√5)+(1/√2)×(2√5/5)=1/√10+2/√10=3/√10=3√10/10。
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