Question

数学化归等比数列，错位相减法求和 要求有步骤

已知数列的通项an=n*2^n,求数列{an}的前n项和Sn，要有步骤的亲！！！！

Answer 1

Sn=1*2+2*4+3*8+4*16+……+（n-1）*2^(n-1)+n*2^n ①
①式左右两边同乘以2得
2Sn= 1*4+2*8+3*16+…… +（n-1）*2^n+n*2^（n+1） ②
①-②得（注意：书写②式时各项的位置，呈现了错位。相减时又是错位相减的）

-Sn=1*2+1*4+1*8+1*16+…… +1*2^n-n*2^（n+1）
(所以-Sn就是一个等比数列的前n项和减去n*2^（n+1）)
-Sn=2*（1-2^n）/（1-2）-n*2^（n+1）
=2^(n+1)-2-n*2^（n+1）
所以

Sn=(n-1)*2^（n+1)+2

Answer 2

s(n)=1*2+2*2^2+...+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n,
2s(n)=1*2^2+2*2^3+...+(n-1)*2^n+n*2^(n+1),
s(n)=2s(n)-s(n)=-2-2^2-...-2^n+n*2^(n+1)
=n*2^(n+1)-2[1+2+...+2^(n-1)]
=n*2^(n+1)-2[2^n-1]/(2-1)
=(n-1)*2^(n+1) + 2

Answer 3