Question

解微分方程dy/dx=2xy-a

请帮我解决这个积分∫exp(-x^2)dx/(a^2+x^2),
积分限从-∞无穷到+∞
解出这个积分的还会加分。
（微分方程dy/dx=2xy-a是求上述积分时出现的，可不用解决）

Answer 1

先求解dy/dx=2xy，得到：dy/y =2xdx, 所以ln|y|=x^2+c,即y=Cexp(x^2),其中C为常数，此时再用常数变易法，设y=C(x)exp(x^2),代入原式可得C(x)=C0-a∫exp(-x^2)dx,C0为常数，
所以：y=[C0-a∫exp(-x^2)dx] exp(x^2)

追问

这种情况能用常数变易法吗？∫exp(-x^2)dx不可积怎么办？我这是做一个体的中间过程涉及到这个微分方程，这里没有明确结果影响下面的步骤。

追答

∫exp(-x^2)dx已经是一个很明确的表达式了，不用积出来的，也积不出来，我是数学系的，所以可以明确的告诉你，我给你的就是你的题目所能得到的了。

追问

那我那道题接下去就做不了了。∫exp(-x^2)dx] exp(x^2)=∫dx=x+constant,这样可以吧？
那麻烦你帮我解∫exp(-x^2)dx/(a^2+x^2),积分限-无穷到+无穷，谢谢了。我就是解这个遇到前面的的微分方程的。我以i前给别人做的题，现在翻看觉得不妥，才重新做一下。

追答

你好，积分限-无穷到+无穷是可求的哦，是这个是泊松积分的两倍，是根号π，
所以∫exp(-x^2)dx] exp(x^2)=(根号π)*exp(-x^2)

追问

你看清楚啊，是∫exp(-x^2)dx/(a^2+x^2),积分限-无穷到+无穷，前面C(x)没有解析式套回恐怕不妥。

追答

你好，我失去耐心了，所以只用留数来做了，其实就是一步就可以了，结果是：πexp(a^2) /a,用交换积分或者2重积分也是可以做出来的，不过过程比较复杂。