Question

f(x)=x³-3x

1.判断函数f(x)在[1,+∞)上的单调性，并证明
2.设x0≥1，f(x0)≥1,且f[f(x0)}=x0,求证：f(x0)=x0

Answer 1

解：（1）任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2
∴f（x1）-f（x2）=（x13-3x1）-（x23-3x2）
=x13-x23-3x1+3x2=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-3)
∵0≤x1＜x2，即x1-x2＜0

当x1，x2∈[1，+∞）时，x12+x1x2+x22-3＞0，有f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）；
由单调性定义得：f（x）=x3-3x在[0，1]上单调减，在[1，+∞）上单调增
(2)
令f(x0)=t
则f(t)=x0; //1式
用反证法：
如果t<x0
则根据单调性：f(t)=x0<f(x0)=t 推出x0<t，矛盾
如果t>x0
则根据单调性：f(t)=x0>f(x0)=t推出x0>t，矛盾
所以t只能等于x0
代入1式，得f(x0)=x0