Question

求解一道数学题

设P是一个数集且至少含有两个元素，若对于任意a,b属于P，都有a+b,a-b,ab,a/b属于P（b不等于0），则称P是一个数域。例如有理数集Q市数域；数集F={a+根号2b|a,b属于Q}也是数域。
给出下列命题：1.整数集是数域；2.若有理数集Q属于M，则数集M必为数域；3.数域必为无限集；4.存在无穷多个数域。
其中正确的命题是3、4。
然后我不理解的是3为什么是正确的命题？求解！

Answer 1

假设数域是个有限集，设该数域的最大值为m，最小值为n。
I. 若m>0，则按定义m+m应属于该数域，但m+m>m，与假设矛盾。
II. 若m<0，则n必定小于0，n*n应属于该数域，但n*n>0>m，与假设矛盾。
III. 若m=0，则此时n存在两种情况：n<0或n=0
当n<0时，可举出与II相同的反例
当n=0时，此时该集合只有一个元素0，但无法满足a/b，因此按照定义该集合{0}无法构成数域
综上所述，数域不能是一个有限集。

Answer 2

相对来说P可以是一个无限数集，那么数域不就无限啦。换而言之，因为数集是不确定的，所以是无限集。

Answer 3

若不是无限集，则必有最大元x,那x+x呢？

Answer 4

不会