Question

f(x)=x2+|x-a|+1，求函数奇偶性，与最小值

Answer 1

解：函数奇偶性：a=0时，f(-x)=x²+|x|+1=f(x)，此时f(x)为偶函数；
a/=0时，f(a)=a²+1，f(-a)=a²+1+2|a|，则f(a)+f(-a)/=0，且f(a)/=f(-a)，此时f(x)为非奇非偶函数。
最小值：x<=a时，f(x)=u(x)=x²+a-x+1；x>a时，f(x)=g(x)=x²+x-a+1
则a>=1/2时，u(x)>=u(1/2)=a+3/4， g(x)>=g(a)=a²+1>=a+3/4，因a²+1-(a+3/4)=(a-1/2)²>=0。
-1/2<a<1/2时，u(x)>=u(a)=a²+1， g(x)>=g(a)=a²+1。
a<=-1/2时，u(x)>=u(a)=a²+1， g(x)>=g(-1/2)=3/4-a<=a²+1，因a²+1-(3/4-a)=(a+1/2)²>=0。
综上所述，fmin(x)=a+3/4,a>=1/2,
a²+1,-1/2<a<1/2,
3/4-a,a<=-1/2.