Question

怎么求函数解析式

Answer 1

教学目标
1 知识与技能
掌握二次函数三种解析式，会用待定系数法求二次函数解析式
2 过程与方法
通过确定二次函数的解析式，体会实际问题转化为数学问题的过程，培养学生分析问题、善于思考的能力
3 情感态度与价值观
通过一题多解和变式训练让学生体验到探究的乐趣
教学重点
已知图象上三点求函数解析式
教学难点
根据条件合理选择表达式确定二次函数的解析式
三 教学过程
（一）问题引入 温故知新
师：问题1 二次函数的一般形式是什么？它的顶点坐标是什么？对称轴是什么？
问题2二次函数除了一般形式还有其它两种形式是什么？
问题3以前我们如何求一次函数解析式？需要知道图象上几个点？
问题4类比一次函数解析式求法你会求二次函数解析式吗?需要知道图象上几点？
设计意图：问题是思维的动力与方向通过问题串，层层提问、层层递进，让学生在脑海中形成知识链条，符合学生认知规律
（二）典型例题 变式训练
1、例题分析：
例1、 已知二次函数的图象过点（1，4）、（-1,0）和（2，3），求此函数的解析式。
让一个学生口述列式过程，教师板书：
解：设所求二次函数解析式为y=ax2+bx+c，依题意得：

解得：a=-1,,b=2,c=3.
∴函数的解析式为y=-x2+2x+3
设计意图：学生分析，教师板书起到了榜样示范的作用。学生小结：已知三点，求二次函数的解析式，一般用待定系数法。
师：如果在刚才的题中将“过点（1，4）”改为“顶点（1，4）”，过点（2，3），能不能解呢？
变式一 已知二次函数的图象过顶点（1，4），且过点（2，3），求此函数的解析式。
分析：这个点（1，4）不是普通点，而是特殊点——顶点，因此，引导学生要从这特殊的地点去联想有关的知识。
学生口述列式过程
解：（方法一）设二次函解析式为：y=a(x-h)2+k，其顶点是(h, k).
∵顶点是（1，4），∴ y=a(x-1)2+4.
又∵过（2，3）点，∴3 =a(2-1)2+4.
∴ a=-1,
∴ y=-(x-1)2+4, ∴ y=-x2+2x+3.
∴ 函数解析式为：y=-x2+2x+3.
（方法二）设二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标（- ， ），
∵ 顶点坐标是（1，4），∴- =1， =4
又∵过（2，3）点，∴ ，
得a=-1, b=2, c=3.
∴ 所求二次函数解析式为： y=-x2+2x+3.
小结：当已知顶点坐标时，使用顶点式y=a(x－h)2+k来解化较简单。
师：如果在刚才的题中将“过点（-1,0）和（2，3）”改为“x轴的交点为（-1，0）、（3，0）”，能不能解呢？
变式二 已知二次函数的图象过点（1，4），且与x轴的交点为（-1，0）、（3，0），求此函数的解析式。
学生分小组讨论
解：（方法一）：设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，
（方法二）：设二次函数是y=ax2+bx+c，由已知函数图象过（1,4），（-1,0），（3,0）三点。
(方法三) 设二次函数是y=a(x－h)2+k
小结：已知二次函数图象与x轴交点时，使用交点式来解比较简便。
变式三 已知二次函数的图象的顶点（1，4），且与x轴的交点为（-1，0）、求此函数的解析式。
你有那些解法
设计意图;一题多解、一题多变，数形结合，培养了思维的深刻性。归纳总结：
①当已知图象上任意三点的坐标时，使用一般式：y=ax2+bx+c 来解比较简单；
②当已知顶点坐标时，使用顶点式y=a(x-h)2+k来解，比较简单
③已知二次函数图象与轴交点时，使用交点式y=a(x-x1)(x-x2)来解比较简单。
（四）反馈练习 拓展训练
1、某二次函数的图象过（2，3），（3，4）和（5，-1）三点，则设此函数解析式为_____________（填一般式、顶点式或交点式），方程组为_____________________。
2、某抛物线顶点（2，-7）且过（0，-3），求此抛物线解析式。
3、已知一个二次函数的图象经过点（0，-3），且当x=2时，函数的最大值-7，则设此函数解析式为_____________（填一般式、顶点式或交点式）。
4、某二次函数的图象过（2，3）且对称轴为直线x=1，则设此函数解析式为_____________（填一般式、顶点式或交点式）。
（五）师生小结布置作业
我的收获
①当已知图象上任意三点的坐标时，使用一般式：y=ax2+bx+c 来解比较简单；
②当已知顶点坐标时，使用顶点式y=a(x-h)2+k来解，比较简单
③已知二次函数图象与轴交点时，使用交点式y=a(x-x1)(x-x2)来解比较简单。
作业
反思。
要即简单，又准确。 面向全体的必做题、面向优等生的选做题。对学生采用多方位的评价方式
一般式 y=ax2+bx+c （a≠0） 顶点式 y=a(x-h)2+k （a≠0）
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) （a≠0）

Answer 2

　[题型一]配凑法
　　例1.已知f(■+1)=x+2■，求f(x)。
　　分析：函数的解析式y=f(x)是自变量x确定y值的关系式，其实质是对应法则f：x→y，因此解决这类问题的关键是弄清对“x”而言，“y”是怎样的规律。
　　解：∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1
　　(■+11)
　　∴f(x)=x2-1(x1)
　　小结：此种解法为配凑法，通过观察、分析，将右端“x+2■”变为接受对象“■+1”的表达式，即变为含(■+1)的表达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求。
　　[题型二]换元法
　　例2.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x)。
　　分析：视1-cosx为一整体，应用数学的整体化思想，换元即得。
　　解：设t=1-cosx
　　∵-1cosx1 ∴01-cosx2 即0t2
　　∴cosx=1-t
　　∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t
　　∴f(t)=-t2+2t(0t2)
　　即f(x)=-x2+2x(0x2)
　　小结：①已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式。
　　注意：换元后要确定新元t的取值范围。
　　②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。
　　[题型三]待定系数法
　　例3.设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0，3)，求f(x)的解析式。
　　分析：由于f(x)是二次函数，其解析式的基本结构已定，可用待定系数法处理。
　　解：设f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)
　　由f(x+2)=f(2-x)可知，该函数图象关于直线x=2对称
　　∴-■=2，即b=-4a……①
　　又图象过点(0，3) ∴c=3……②
　　由方程f(x)=0的两实根平方和为10，得(-■)2-■=0
　　即b2-2ac=10a2……③
　　由①②③解得a=1，b=-4，c=3
　　∴f(x)=x2-4x+3
　　小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)=■(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设
　　①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
　　②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)
　　③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
　　[题型四]消元法
　　例4.已知函数y=f(x)满足af(x)+bf(■)=cx，其中a、b、c都是非零常数，a≠±b，求函数y=f(x)的解析式。
　　分析：求函数y=f(x)的解析式，由已知条件知必须消去f(■)，不难想到再寻找一个方程，构成方程组，消去f(■)得f(x)。如何构成呢？充分利用x和■的倒数关系，用■去替换已知中的x便可得到另一个方程。
　　解：在已知等式中，将x换成■，得af(■)+bf(x)=■，把它与原条件式联立，得af(x)+bf(■)=cx……①af(■)+bf(x)=■……②
　　①×a-②×b得(a2-b2)f(x)=c(ax-■)
　　∵a≠±b ∴f(x)=■(ax-■)(x≠0)