Question

已知函数f（x)的定义域是（0，正无穷），且对任意x，y属于（0，正无穷）

都有f（xy）=f（x）+f（y），且满足f（0.5）=1，当x大于1时，f（x）小雨0
（1）求f（1）的值
（2）证明；f（x）在（0，正无穷）上是减函数
（3）（x）+f（x-0.75）小于2，求实数x的取值范围

Answer 1

1、令x=1,则f(y)=f(1)+f(y),f(1)=0
2、任取0<x1<x2,
令x=x1,y=x2/x1,则f(x2)=f(x1)+f(x2/x1),即f(x1)-f(x2)=-f(x2/x1)
因为0<x1<x2，所以x2/x1>1,f(x2/x1)<0,-f(x2/x1)>0,f(x1)>f(x2)
对于任意的0<x1<x2,总有f(x1)>f(x2),所以f（x）在（0，正无穷）上是减函数
3、令x=y=0.5,f(1/4)=2f(0.5)=2,
所以原式可化为f(x)+f(x-0.75)=f(x^2-3/4x)<f(1/4)
因为f（x）在（0，正无穷）上是减函数
所以x>0,x-0.75>0,x^2-3/4x>1/4
解得x>1
所以x的取值范围x>1

Answer 2

（1）赋值。因为对任意x，y属于（0，正无穷）都有f（xy）=f（x）+f（y），
所以令f（xy）=f（x）+f（y）中x=1，y=1，得f（1）=0
（2）把f（xy）=f（x）+f（y）转化为f（xy）- f（y）=f（x），设（0，正无穷）上任意的a<b,
则f（b）- f（a）=f（b/a），因为a<b,所以b/a>1,由已知可得此时f（a/b）<0，
即f（b）<f（a）,所以f（x）在（0，正无穷）上是减函数
（3）f（x）+f（x-0.75）<2，可化为f（x）+f（x-0.75）<f（0.5）+f（0.5），
因为对任意x，y属于（0，正无穷）都有f（xy）=f（x）+f（y），
所以f（x）+f（x-0.75）<f（0.5）+f（0.5）可化为f（x^2-0.75x）<f（0.25）
因为f（x）在（0，正无穷）上是减函数，所以x^2-0.75x>0.25且 x^2-0.75x>0,下面解不等式组即可。

Answer 3

1、令x=1,则f(y)=f(1)+f(y),f(1)=0
2、任取0<x1<x2,
令x=x1,y=x2/x1,则f(x2)=f(x1)+f(x2/x1),即f(x1)-f(x2)=-f(x2/x1)
因为0<x1<x2，所以x2/x1>1,f(x2/x1)<0,-f(x2/x1)>0,f(x1)>f(x2)
对于任意的0<x1<x2,总有f(x1)>f(x2),所以f（x）在（0，正无穷）上是减函数
3、令x=y=0.5,f(1/4)=2f(0.5)=2,
所以原式可化为f(x)+f(x-0.75)=f(x^2-3/4x)<f(1/4)
因为f（x）在（0，正无穷）上是减函数
所以x>0,x-0.75>0,x^2-3/4x>1/4
解得x>1
所以x的取值范围x>1