Question

已知函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax(a为常数) (1)若f(x)在区间[-1,2]上单调递减,求a的取值

(2)若f(x)与直线y=-9相切：(i)求a的值；(ii)设f(x)在x1,x2（x1<x2)处取得极值，记点m(x1,f(x1)),n(x2,f(x2)),p(m,f(m)),x1<m<x2,若对任意的m属于(t,x2),线段mp与曲线f(x)均有异于m,p的公共点，试确定t的最小值并证明

Answer 1

好长的题……
(1)求导，f ’(x)=x^2-2x+a=(x-1)^2+a-1。只需满足导数<=0即可，即(x-1)^2<=1-a。由于x的范围[-1,2]
可知(x-1)^2<=4，只需1-a>=4即可。故答案为a<=-3。
(2)(i)设切点为x0，则f(x0)=-9，f ' (x0)=0。两式联立得a=-3.
(ii)f(x)=1/3x^3-x^2-3x，f ' (x)=x^2-2x-3。令f '(x)=0,得x1=-1,x2=3,f(-1)=5/3,f(3)=-9。通过分析f(x)的曲线特性可知，若满足题目要求，只需要满足线段MP的斜率大于f(x)在P点处的斜率即可。数学表达式为(1/3m^3-m^2-3m-5/3)/(m+1)>m^2-2m-3。化简为m^3-3m-2<0。令g(m)=m^3-3m-2, g '(m)=3m^2-3。又因为m的范围为(-1,3)，故m=1时，g(m)有最小值-4。所以t=4。

Answer 2

(i)设切点为x0，则f(x0)=-9，f ' (x0)=0。两式联立得a=-3.
(ii)f(x)=1/3x^3-x^2-3x，f ' (x)=x^2-2x-3。令f '(x)=0,得x1=-1,x2=3,f(-1)=5/3,f(3)=-9。通过分析f(x)的曲线特性可知，若满足题目要求，只需要满足线段MP的斜率大于f(x)在P点处的斜率即可。数学表达式为(1/3m^3-m^2-3m-5/3)/(m+1)>m^2-2m-3。化简为m^3-3m-2<0。令g(m)=m^3-3m-2, g '(m)=3m^2-3。又因为m的范围为(-1,3)，故m=1时，g(m)有最小值-4。所以t=4。