Question

一道高中的数学题 应用题应用题

在三角形ABC中，三内角A，B，C满足sinA（cosB+cosC）=sinB+sinC，试着判断ABC的形状

Answer 1

解：设A，B，C对边分别为a，b，c，
由sinB+sinC=sinA（cosB+cosC）得：b+c=a（cosB+cosC），
又cosB=
a2+c2-b22ac，cosC=
a2+b2-c22ab，
∴b+c=a（
a2+c2-b22ac+
a2+b2-c22ab），
整理得：（b+c）（b2+c2-a2）=0，
∵b+c≠0，∴b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2，
则△ABC为直角三角形，且∠A=90°．
故答案为：直角三角形，且∠A=90°

Answer 2

等腰直角三角形
解：在三角形ABC中，有A+B+C=π
sinA=sin（π-（B+C））=sin（B+C）
sin（B+C）*（cosB+cosC）=sinB+sinC
（sinBcosC+cosBsinC）*（cosB+cosC）=sinB+sinC
sinBcosCcosB+sinBcosCcosC+cosBcosBsinC+cosBsinCcosC=sinB+sinC
sinBcosCcosB+sinB(1-sin^2C)+sinC(1-sin^2B)+cosBsinCcosC=sinB+sinC
sinBcosCcosB-sinBsin^2C-sinCsin^2B+cosBsinCcosC=0
cosCcosB(sinB+sinC)=sinBsinC(sinB+sinC)
cosCcosB=sinBsinC
cos(B+C)=0
B+C=π/2
A=π/2
cosB+cosC=sinB+sinC
cosB+cos(π/2-B)=sinB+sin(π/2-B)
cosB=sinB
B=π/4
C=π/4
三角形ABC为等腰直角三角形