Question

什么是原根

Diffie-Hellman算法中,有这样一个说法:定义一个素数P的原根为这样一个数......

请教有没有更加详细的原根的资料啊?
谢谢先!

Answer 1

1. 原根的定义
设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）
假设一个数g对于P来说是原根，那么g^i mod P的结果两两不同，且有 1<g<P, 0<i<P,那么g可以称为是P的一个原根,归根到底就是g^(P-1) = 1 (mod P)当且仅当指数为P-1的时候成立。(这里P是素数)。

简单来说，g^i mod p ≠ g^j mod p （p为素数）
其中i≠j且i，j介於1至(p-1)之间，则g为p的原根。
求原根目前的做法只能是从2开始枚举，然后暴力判断g^(P-1) = 1 (mod P)是否当且当指数为P-1的时候成立，而由于原根一般都不大，所以可以暴力得到。
2. 原根的性质
（1）可以证明，如果正整数(a,m) = 1和正整数 d 满足a^d≡1(mod 7)，则 d 整除 φ(m)。因此Ordm(a)整除φ(m)。在例子中，当a= 3时，我们仅需要验证 3 的 1 、2、3 和 6 次方模 7 的余数即可。
（2）记δ = Ordm(a)，则a^1，……a^(δ-1)模 m 两两不同余。因此当a是模m的原根时，a^0,a^1，……a^(δ-1)构成模 m 的简化剩余系。
（3）模m有原根的充要条件是m= 1,2,4,p,2p,p^n，其中p是奇质数，n是任意正整数。
（4）对正整数(a,m) = 1，如果 a 是模 m 的原根，那么 a 是整数模n乘法群（即加法群 Z/mZ的可逆元，也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群）Zn的一个生成元。由于Zn有 φ(m)个元素，而它的生成元的个数就是它的可逆元个数，即 φ(φ(m))个，因此当模m有原根时，它有φ(φ(m))个原根。

Answer 2

原根Primitive Root
g^i mod p ≠ g^j mod p
其中i≠j且i, j介於1至(p-1)之间
则g为p的原根。

mod读“模”， mod n的意思是除以n的余数。
如： 10 mod 3 =1 13 mod 5 =3