,在△ABC中,点D在边AB上,且DB=DC=AC,已知∠ACE=108°,BC=2. 5
(1)求∠B的度数;
(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比
5-12.
①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由;
②求AD的长;
③在直线AB或BC上是否存在点P(点A、B除外),使△PDC是黄金三角形?若存在,在备用图中画出点P,简要说明画出点P的方法(不要求证明);若不存在,说明理由.
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解:(1)∵BD=DC=AC.
则∠B=∠DCB,∠CDA=∠A.
设∠B=x,则∠DCB=x,∠CDA=∠A=2x.
又∠BOC=108°,
∴∠B+∠A=108°.
∴x+2x=108,x=36°.
∴∠B=36°;
(2)①有三个:△BDC,△ADC,△BAC.
∵DB=DC,∠B=36°,
∴△DBC是黄金三角形,
(或∵CD=CA,∠ACD=180°-∠CDA-∠A=36°.
∴△CDA是黄金三角形.
或∵∠ACE=108°,
∴∠ACB=72°.又∠A=2x=72°,
∴∠A=∠ACB.
∴BA=BC.
∴△BAC是黄金三角形.
②△BAC是黄金三角形,
∴AC:BC=根号5-1:2)(黄金比)∵BC=2,∴AC=根号5-1
∵BA=BC=2,BD=AC=根号5-1
∴AD=BA-BD=2-(根号5-1)=3-根号5
③存在,有三个符合条件的点P1、P2、P3.
ⅰ)以CD为底边的黄金三角形:作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2.
ⅱ)以CD为腰的黄金三角形:以点C为圆心,CD为半径作弧与BC的交点为点 P3.
分析:(1)根据题意设∠B=x,则∠DCB=x,∠CDA=∠A=2x,列出方程即可得出∠B的度数;
(2)根据黄金三角形是一个等腰三角形,它的顶角为36°,每个底角为72°.它的腰与它的底成黄金比.当底角被平分时,角平分线分对边也成黄金比,并形成两个较小的等腰三角形.这两三角形之一相似于原三角形.依此数出图中黄金三角形的个数并作出点P.