Question

请教一道高中数学题 记函数f(x)=ln(x+1),g(x)=x

1.若函数G（x）=af(x)+g2(x)-bg(x)有2个极值点x1,x2 且x1属于[-4/5,-3/5],求a的取值范围2.若函数F（x)=1/f(x) -1/g(x) 对任意x1 x2属于[1,3]恒有|F（x1)-F (x2)|<=a成立求a取值范围 （ ln2=0.7）

Answer 1

记函数f（x）=ln（1+x），g（x）=x．
（1）若函数F（x）=af（x）+g2（x）在x=1处取得极值，试求a的值；
（2）若函数G（x）=af（x）+g2（x）-b•g（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈[-
45，-
35]，x2∈[0，1]，试求a的取值范围；
（3）若函数H（x）=1f(x)-
1g(x)对任意x1，x2∈[1，3]恒有|H（x1）-H（x2）|≤a成立，试求a的取值范围．
（参考：ln2≈0.7）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；简单线性规划．专题：综合题．分析：（1）先根据F（x）=aln（x+1）+x2，求得F′（x）=a1+x+2x，根据F′（1）=0，可以求出a的值；
（2）通过对G（x）求导，再研究导数的分子对应的二次函数根的分布，在aob坐标系中作出符合题意的不等式组对应的平面区域，通过求界点的方法，可找出a的取值范围；
（3）对H（x）求导，得到一个分式函数，再研究此函数的分子对应的函数，发现此函数的最大值为零，从而得出函数H（x）在区间[0，+∞）上单调递减，再结合题意得a≥|H（x）max-H（x）min|，从而得出a的取值范围．解答：解：（1）由F（x）=aln（x+1）+x2，可得F′（x）=a1+x+2x，根
由题意得F′（1）=0，即a2+2=0，故a=-4；
（2）G（x）=aln（x+1）+x2-bx （x＞-1），
求得 G′（x）=2x 2 +(2-b)x+(a-b)1+x
令分子为h（x）=2x2+（2-b）x+（a-b），由题意得：h(1)=a-2b+4≥0h(0)=a-b≤0h(-35) =a-2b5-1225≤0h(-45) =a-15b-825≥ 0​
化简得：a-2b+4≥0a-b≤025a-10b-12≤025a-5b-8≥0​，

由图可得A(25，85) ，B(85，145)，由此可得a∈[25，85]
（3）由H（x）=1ln(1+x)-1x得：H/(x)=(1+x)ln 2(1+x)-x 2x 2(1+x) 2ln 2(1+x)
记分子为m（x）=（1+x）ln2（1+x）-x2，（x＞-1），可得m′（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）-2x，
根据m′（x）的零点不难得出m（x）在区间（-1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数，
故m（x）≤m（0）=0，因此可得H′（x）≤0在区间[0，+∞）上恒成立，
所以H（x）在区间[0，+∞）上单调递减，
故H（x）在[1，3]上单调递减，
再由题意，可知：a≥|H（x）max-H（x）min|=|H（1）-H（3）|=12ln2-23
所以a的取值范围是[12ln2-23，+∞)点评：本题考查了利用导数工具研究函数的单调性与极值，求函数在闭区间上的最值问题，同时考查了含有二次和对数函数的零点的分布问题，综合性较强，属于难题．利用数形结合与分类讨论思想是解决本题的关键．

Answer 2

x,x

Answer 3

g2(x)是不是写错了？

追问

就是g（x) 的平方

Answer 4

没有少条件么，，，

追问

有第一小题 我没打 是 若函数H（x)=af(x)+g2(x)在x=1时取到极值 求a g2(x)就是g（x) 的平方