Question

过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A,B两点，若FA＝2FB，求椭圆的离心率。

如何用代数的方法解此题？（就是不作椭圆的准线）急求，详解，谢谢！

Answer 1

方法一：A（x1,y1),B(x2,y2)由题：y1/y2=-2
-2-1/2=y1/y2+y2/y1=(y1平方+y2平方)/y1y2=(y1+y2)^2/y1y2-2
(y1+y2)^2/y1y2=-1/2
直线：x=√3/3y-c与椭圆联立化简得：（1/3a^2+1/b^2)y^2-2√3cy/3a^2+c^2/a^2-1=0
用韦达得e=2/3
方法二：分别从A、B向左准线作垂线AM、BN，垂足M、N，
∵倾斜角为60度,∴|AM|>|BN|,
作BH⊥AM，垂足H，
|AH|=|AM|-|BN|，
根据椭圆第二定义，|AF|/|AM|=e,
|BF|/|BN|=e，
|AF|/|BF|=|AM|/|BN|=2，
|MH|=|BN|，
|AM|=2|MH|，
∴H是AM的中点，
BH是AM的垂直平分线，
〈MAB=〈AFX=60°，
∴△AMB是正△，
|AB|=|AM|，
|AF|/|BF|=2，
|AF|/|AB|=2/3，
∴离心率e=|AF|/|AM|=|AF|/|AB|=2/3.,

Answer 2

直线方程经过点F：（-c，0），斜率为根号3，可设直线方程
根据椭圆公式，连列方程组，求A、B坐标，然后可表示FA，FB的长度，根据FA=2FB可求斜率
这个方法如果不用运算技巧会很麻烦

Answer 3

（数形结合）设FB=x,则FA=2x.(1)由题设可知,在⊿AFF1(F1为右焦点）中,∠AFF1=60º,FA=x,FF1=2c.由余弦定理知|AF2|=√[4x²+4c²-4cx].再由|AF|+|AF1|=2a.===>2x+√[4x²+4c²-4cx]=2a.===>x=(a²-c²)/(2a-c).(2)由题设可知,在⊿BFF1中,∠BFF1=120º,BF=x,FF1=2c.由余弦定理知,|BF1|＝√[x²+4c²+2cx].再由|BF|+|BF1|=2a.===>x+√[x²+4c²+2cx]=2a.===>x=2(a²-c²)/(2a+c).综上知,2(a²-c²)/(2a+c)=(a²-c²)/(2a-c).===>2a=3c.===>e=c/a=2/3.===>e=2/3.