Question

已知奇函数f(x)在区间[-b,-a](b>a>0)上是一个恒大于0的减函数试问函数丨f(x)丨在区间

已知奇函数f(x)在区间[-b,-a](b>a>0)上是一个恒大于0的减函数试问函数丨f(x)丨在区间[a,b]上是增函数还是减函数？为什么解答时设x1＜x2 最后是f（x1）＞f（x2）还是增函数？
任取x1，x2且a≤x1＜x2≤b
则-a≥-x1＞-x2≥-b由f（x）在【-b.-a】上是恒大于0的递减函数，得0＜f（-x1）＜f（x2
又f（x）是奇函数，则0＜-f（x1＜-f（x2）
于是0大于f（x1）大于f（x2）
所以f（x1）-f（x2）＞0

而丨f(x2)丨-丨f(x1)丨=-f（x2）-[-f（x1）]=f（x1）-f（x2）＞0
所以是增函数

那错了 这是书上给的答案

Answer 1

任取a≤x1<x2≤b,则-b≤-x2<-x1≤-a
因为函数在[-b,-a]上是减函数，所以f(-x2)>f(-x1)>0
因为函数是奇函数，所以f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1),即-f(x2)>-f(x1)>0
即丨f(x2)丨>丨f(x1)丨,所以是增函数

没错的，f（x1）＞f（x2）说明的是f(x)是减函数，
但由于f(x)在区间[a,b]上是恒小于零的，所以丨f(x)丨=-f(x),
所以丨f(x)丨与f(x)单调性相反，故丨f(x)丨是增函数

追问

你会不等式的乘除吗 我老是弄错就 一个不等号还好2个就错了 你教教呗

追答

最稳妥的办法是分成多个不等式，分别乘除。。呵呵，麻烦点，但是不易错，我就是这么做的
或者说，比如AkB>kC>kD,(k0),
不知是否是你要的答案

Answer 2

答：将在区间[a,b]上的问题转化到已知的区间[-b,-a](b>a>0)上进行研究，这是一种常用方法！
设x1和x2属于区间[a,b]，那么-x1和-x2属于区间[-b,-a]，设x1＜x2→：-x1＞-x2
根据函数f(x)在区间[-b,-a](b>a>0)上是一个恒大于0的减函数，有：0＜f（-x1）＜f（-x2）
而由奇函数f(x)满足：f（-x）=-f（x），有：0＜-f（x1）＜-f（x2）→0＞f（x1）＞f（x2）
→0＜|f（x1）|＜|f（x2）|，因此函数丨f(x)丨在区间[a,b]上是增函数。

追问

你会不等式的乘除吗 我老是弄错就 一个不等号还好2个就错了 你教教呗

追答

给一个题吧

Answer 3

设任意实数 x1,x2，a≤x1<x2≤b,
-a≥-x1>-x2≥-b
f(x)在区间[-b,-a](b>a>0)上是一个恒大于0的减函数:
0<f(-a)≤f(-x1)<f(-x2)≤f(-b)
0<-f(a)≤-f(x1)<-f(x2)≤-f(b)
0>f(a)≥f(x1)>f(x2)≥f(b)
( f(x1)>f(x2) )
|f(x1)|<|f(x2)|
（可能漏掉了一个条件：f(x)在区间[-b,-a](b>a>0)上一个恒大于0 ）。

追问

你会不等式的乘除吗 我老是弄错就 一个不等号还好2个就错了 你教教呗