Question

已知函数f(x)=a^x-2根号下(4-a^x)-1 (a>0且a不等于1） （1）求函数的定义域和值域

（2）求实数a的取值范围，是的函数f(x)满足：当定义域为(2,+∞)时，f(x)≥0恒成立

Answer 1

你好！

(1) 4 - a^x ≥ 0
a^x ≤ 4
当 0<a<1时，x ≥ loga (4)
当a>1时，x ≤ loga (4)

令t= √(4 - a^x) ，a^x = 4 - t²
a^x >0
0 ≤ 4 - a^x < 4
0 ≤ t < 2
f(x) = 4 - t² - 2t - 1
= - (t+1)² +4
∈( - 5，3 ]

(2) 定义域为(2,+∞)
∴0<a<1

x > 2
0 < a^x < a²
4 - a² < 4 - a^x < 4
√(4 - a²) < t < 2

f(x) = 4 - t² - 2t - 1
= - (t+1)² + 4
在 t∈（√(4-a²)，2）单调递减
f(x) > - (2+1)² + 4 = - 5

f(x) ≥ 0 不恒成立
我想题目是不是 f(x) ≤ 0 恒成立
那么 f(x) < a² - 2√(4 - a²) - 1 ≤ 0
即 a² - 1 ≤ 2√(4 - a²)
∵0<a<1 ，0<a²<1，a² - 1 < 0
∴上式显然成立

故 a∈(0,1)