Question

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在△ABC中，点M式BC的中点，△AMC的三边长依次成等差数列公差等于抛物线y^2=-4x的准线与X轴交点的横坐标， 且tan∠C×tan∠BAM=1
（1）判断△ABC的形状
（2）求∠BAC的正切值

Answer 1

⑴△AMC的三边长依次成等差数列公差等于抛物线y^2=-4x的准线与X轴交点的横坐标
∴△AMC的三边长成公差1等差数列公差
tan∠C×tan∠BAM=1
sin∠Csin∠BAM=cos∠Ccos∠BAM
cos(∠C+∠BAM)=0
∠C+∠BAM=90° sin∠C=cos∠BAM
∠B+∠MAC=90° sin∠B=cos∠MAC
由正弦定理
sin∠BAM/BM=sin∠B/AM sin∠BAM/sin∠B=BM/AM
sin∠MAC/MC=sin∠C/AM sin∠MAC/sin∠C=MC/AM
∵BM=MC
∴sin∠BAM/sin∠B= sin∠MAC/sin∠C
sin∠BAM×sin∠C= sin∠MAC×sin∠B
sin∠BAM×cos∠BAM= sin∠MAC×cos∠MAC
sin2∠BAM= sin2∠MAC
∠BAM= ∠MAC 或 ∠BAM+∠MAC=90°
当∠BAM+∠MAC=90°时AM=BC/2=MC
与△AMC的三边长成公差1等差数列公差矛盾
∴∠BAM= ∠MAC ，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形
⑵
在直角三角形AMC中，设两直角边分别为a，a-1，斜边为a+1
a²+(a-1)²=(a+1)²
a=4
tan∠MAC =4/3
tan∠BAC =tan2∠MAC =2tan∠MAC /(1-tan²∠MAC )=2×(4/3)/[1-(4/3)²]=-24/7
tan∠BAC =-24/7