Question

P为等腰直角三角形ABC斜边AB上任意一点,PE垂直于AC,PF垂直于BC,PG垂直于EF,延长GP使得PD=PC.

求证：BC⊥BD,且BC=BD

Answer 1

证明：因为 AB是等腰直角三角形ABC的斜边，
所以 角ACB=90度，角A=角ABC=45度，
因为 PE垂直于AC，PF垂直于BC，角ACB=90度，
所以 四边形PECF是矩形，
所以 角CPF=角EFP，角EPF=90度，
因为 角EPF=90度，PG垂直于EF，
所以 三角形EPG相似于三角形PFE，
所以 角EPG=角EFP，
所以 角CPF=角EPG，
因为 PE垂直于AC，角A=45度，
所以 角APE=45度，
同理： 角BPF=45度，
所以 角CPF+角BPF=角EPG+角APE，
即： 角BPC=角APG，
因为 角APG=角BPD，
所以 角BPC=角BPD，
又因为 PD=PC，PB=PB，
所以 三角形BPC全等于三角形BPD，
所以 BC=BD，角PBD=角ABC=45度，
所以 角DBC=角PBD+角ABC=90度，
所以 BC垂直于BD。