Question

用函数单调性的定义证明函数 f(x)=x^2+（2/x）在区间（0，1）上是减函数，在（1，正无无穷大）上是增函数

利用上面结论 求f(x)=x^2+(2/x)在（0，正无穷大）上的最小值

Answer 1

设x1<x2，f(x2)-f(x1)=(x2)^2+(2/x2)-(x1)^2-(2/x1)
=(x2-x1)(x2+x1)+2(x1-x2)/(x2*x1)
=(x2-x1)[x2+x1-2/(x2*x1)]
当0<x1<x2<1，0<x2+x1<2；0<x2*x1<1，所以2/(x2*x1)>2；所以x2+x1-2/(x2*x1)<0；
x2-x1>0；所以f(x2)-f(x1)<0，函数在区间（0，1）上是减函数
当x2>x1>1，x2+x1>2；x2*x1>1，所以2/(x2*x1)<2；所以x2+x1-2/(x2*x1)>0；
x2-x1>0；所以f(x2)-f(x1)>0，函数在区间（1，正无无穷大）上是增函数
根据结论，在（0，正无穷大）上f(1)为最小值，f(1)=3