Question

如图,△ABC中,D在边BC上,∠DAC=∠B,角平分线CE交AD于F,已知BD=5,DC=4

（1）求CF/EF的值
（2）求AF/DF的值
（3）求四边形BDFE的面积与△ACF面积的比值

Answer 1

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∵∠DAC=∠B，∠ACB为公共角，
∴ΔCAD∽ΔCBA，∴CD/CA=CA/CB，
∴CA^2=CB*CD=36，∴CA=6；
⑴∵CE平分∠ACB，∴AE/BE=AC/BC=2/3，
过E作EG∥BC交AD于G，则EG/BD=AE/AB=2/5，
∴EG=2，
∴EF/CF=EG/DC=1/2，
∴CF/EF=2；
⑵CF平分∠ACD，AF/DF=AC/CD=3/2。
⑶SΔACF/SΔAEF=CF/EF=2(同高三角形面积的比等于底边的比)，
SΔACF/SΔCDF=AF/DF=3/2，(同上)
SΔABD/SΔADC=BD/CD=5/4，
设SΔACF=a，则SΔAEF=1/2a，SΔCDF=2/3a，
SΔABD=5/4SΔACD=5/4(a+2/3a)=25/12a，
∴S四边形BDFE=25/12a-1/2a=19/12a，
∴S四边形BDFE/SΔACF=19/12。

Answer 2

∵∠DAC=∠B，∠ACB为公共角，

∴ΔCAD∽ΔCBA，∴CD/CA=CA/CB，
∴CA^2=CB*CD=36，∴CA=6；
⑴∵CE平分∠ACB，∴AE/BE=AC/BC=2/3，
过E作EG∥BC交AD于G，则EG/BD=AE/AB=2/5，
∴EG=2，
∴EF/CF=EG/DC=1/2，
∴CF/EF=2；
⑵CF平分∠ACD，AF/DF=AC/CD=3/2。
⑶SΔACF/SΔAEF=CF/EF=2(同高三角形面积的比等于底边的比)，
SΔACF/SΔCDF=AF/DF=3/2，(同上)
SΔABD/SΔADC=BD/CD=5/4，
设SΔACF=a，则SΔAEF=1/2a，SΔCDF=2/3a，
SΔABD=5/4SΔACD=5/4(a+2/3a)=25/12a，
∴S四边形BDFE=25/12a-1/2a=19/12a，
∴S四边形BDFE/SΔACF=19/12。
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