Question

已知F1F2为双曲线C：x²-y²=1的左右焦点，点P在C上。

﹙1﹚若向量PF1·向量PF2=0，求点P到x轴的距离
﹙2﹚若∠F1PF2=60º,求三角形F1PF2的面积

Answer 1

（1）
双曲线C：x²-y²=1
c²=a²+b²=1+1=2,c=√2
∴F1(-√2,0),F2(√2,0)
设P(x,y)
∵向量PF1·向量PF2=0
∴（-√2-x,-y)●(√2-x,-y)=0
∴x²+y²=2 与x²-y²=1联立
解得x²=3/2,y²=1/2
∴P到x轴的距离为|y|=√2/2

(2)
设|PF1|=m,|PF2|=n
∴|m-n|=2a=2 ①
∵∠F1PF2=60º,根据余弦定理
（2c)²=m²+n²-2mncos60º
∴m²+n²-mn=8 ②
②-①²:
mn=4
∴三角形F1PF2的面积
S=1/2*mn*sin∠F1PF2
=1/2*4*√3/2
=√3