Question

高一数学题（要详细解题过程）已知二次函数f(x)=ax²+bx+c,若f(x)+f(x+1)=2x²-2x+13

（1）求函数f（x）解析式
（2）当x∈[t，5]时，求函数f（x）的最大值

Answer 1

解:(1)因为f(x)=ax²+bx+c，
所以f(x)+f(x+1)=ax²+bx+c+a(x+1)²+b(x+1)+c=2ax²+2bx+2ax+2c+a+b=2x²-2x+13
所以2a=2,2b+2a=-2,2c+a+b=13解得a=1,
因为a=1,2b+2a=-2,所以b=-2
因为a=1.b=-2,2c+a+b=13,所以c=7
所以f（x）=x²-2x+7
(2)因为二次函数f(x)=x²-2x+7
所以其对称轴=-b/2a=1,因为a>0,所以二次函数开口向上，
即：与1的距离越远函数值越大
则：当t<-3时，函数f（x）的最大值为t²-2t+7
当t=-3时，函数f（x）的最大值为22
当t>-3时，函数f（x）的最大值为22
（做这道题可是很辛苦的哦，别忘了选为最佳答案哦，呵呵！）
希望你学习进步，加油

Answer 2

（1）f（x+1）=a(x+1)²+b(x+1)+c
f(x)=ax²+bx+c
两式相加得到
2ax²+2(a+b)x+a+b+2c=2x²-2x+13
可以得到2a=2；2（a+b）=-2；a+b+2c=13
解方程得到a=1，b=-2，c=7
所以f（x）=x²-2x+7
（2）f（x）=x²-2x+7=（x-1）²+6，f（x）在，[-∞，1）是减函数，在[1,+∞）上是增函数，
所以t>=1时，f（x）在x∈[t，5]上的最大值为x=5时f（x）=22。
-5=<t<=1的时候，最大值还是22
t<=-5时，该函数没有最大值。

Answer 3

解：f(x)=ax²+bx+c
f(x)+f(x+1)=2x²-2x+13
∴ax²+bx+c+a(x+1)²+b(x+1)+c=2x²-2x+13
2ax²+2(a+b)x+a+b+2c=2x²-2x+13
∴2a=2
2(a+b)=-2
a+b+2c=13
a=1 b=-2 c=7
∴f(x)=x²-2x+7