Question

在空间四边形ABCD中,E,G分别是边BC,AB上的点,点F在边CD上,点H在边AD上,若GH与EF交于点K

求证：B,D,K三点共线

Answer 1

解：假设BC，AD是共面直线，则A，B，C，D共面；所以四边形ABCD是平面四边形与已知矛盾故BC，AD是异面直线
　∵E，F，分别是AB，BC的中点，∴EF∥BD；EF=1
　　2
　　BD；同理GH∥BD；GH=1
　　2
　　BD；所以四边形EFGH是平行四边形
　　若EFGH是菱形则有EH=EF；所以BD=AC
　　若EFGH是矩形，则EH⊥EF；所以BDAC
　　若四边形是正方形则四边形是矩形且是菱形则
　　BD=AC，BD⊥AC
　　故答案为：异面直线；平行四边形；BD=AC；BD⊥AC；BD=AC且BD⊥AC

Answer 2

平面ABD与平面BCD相交，BD为交线，已知GK在平面ABD上，EK在平面BCD上，GH与EF交于点K，则K必定在交线BD上，所以B,D,K三点共线。