Question

如图,已知点E在△ABC的边AB上,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,且D在以AE为直径的圆O上

1.求证：BC与圆O相切
2.当AE=2，∠CAD=30°时，求BD的长。

Answer 1

1、∵OA=OD(半径）
∴∠OAD(∠BAD)=∠ODA
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠CAD=∠BAD
∴∠ODA=∠CAD
∵∠C=90°
∴∠CAD+∠ADC=90°
∴∠ODA+∠ADC=∠ODC=90°
即OD⊥BC
∴BC与圆O相切
2、∵∠BAC=2∠CAD=2×30°=60°
∴∠B=90°-∠BAC=30°
∵OD=1/2AE=1/2×2=1
∴在Rt△OBD中
OB=2OD=2
∴BD²=OB²-OD²=2²-1²=3
∴BD=√3

Answer 2

ao=od 所以角dao=ado 又 角cad=oad 所以cad=oda 所以ac平行od，所以od垂直cb，相切
oa=1 cd=根号3/2 ac=3/2 bd/(bd+cd)=od/ac=2/3 bd=根号3