已知X,Y是正整数,且M=X^2+Y+1,N=Y^2+4X+3. 求证:M,N不可能同时都是完全平方数。
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反证法
证明:如果M是完全平方数
则:M=(x+1)² ===> x²+2x+1=X^2+Y+1 ===> Y=2x 代入 N:
N= Y^2+4X+3=4x²+4x+3=(2x+1)²+2 显然不是完全平方数
如果N是完全平方数
则:N=Y^2+4X+3 ===> (Y+√3)²=Y^2+4X+3===>2√3Y=4X===>Y=2√3X/3 代入M:
M=X^2+Y+1=X²+2√3X/3+1=(X+√3/3)²+2/3 不是完全平方数
因此:M、N不可能同时为完全平方数
证明:如果M是完全平方数
则:M=(x+1)² ===> x²+2x+1=X^2+Y+1 ===> Y=2x 代入 N:
N= Y^2+4X+3=4x²+4x+3=(2x+1)²+2 显然不是完全平方数
如果N是完全平方数
则:N=Y^2+4X+3 ===> (Y+√3)²=Y^2+4X+3===>2√3Y=4X===>Y=2√3X/3 代入M:
M=X^2+Y+1=X²+2√3X/3+1=(X+√3/3)²+2/3 不是完全平方数
因此:M、N不可能同时为完全平方数
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