Question

奇函数f(x)满足:f(x)在(0,正无穷)内单调递增；f(1)=0,则不等式(x-1)f(x)>0

请勿抄袭网上的其他答案，并给出相应过程，谢谢！！！

Answer 1

{}解答：
奇函数f(x)满足:f(x)在(0,正无穷)内单调递增；f(1)=0,
∴ f(x)在(-∞，0）内单调递增，f(-1)=0
作出草图
∴ f(x)>0时，x>1或-1<x<0
f(x)<0时， x<-1或0<x<1

不等式(x-1)f(x)>0
(1) f(x)>0且x>1
∴ x>1
(2) f(x)<0且x<1
∴ x<-1或0<x<1
∴ 不等式的解集为{x|x<-1或0<x<1或x>1}

追问

请问：为什么因为 f(x)在(-∞，0）内单调递增，而f(-1)=0 呢？

追答

可以利用图像，
奇函数的图像关于原点对称，画个草图就能出来。

Answer 2

f(-1)=-f(1)=0
因为(x-1)f(x)>0,也就是(x-1)与f(x)异号，如果一个是正的则另一个就是负的；
当（x-1)>0时，f(x)<0,
因为0=f(1)
所以x>1时， f(x)<f(1), 而函数f(x)在(1,+∞)上单调增，所以x<1,矛盾；
当(x-1)<0时，f(x)>0;
因为奇函数，在（-∞，0）上也是增函数，f(-1)=0,由图可知：
-1<x<0
所以不等式（x-1)f(x)>0的解集为：
（-1，0）