Question

AB是○O的直径，点C是○O上一点，CD⊥AB于D,点E是○O上一点，且∠ACE=2∠BCD，连AE 1.求证：CO⊥AE 2

AB是○O的直径，点C是○O上一点，CD⊥AB于D,点E是○O上一点，且∠ACE=2∠BCD，连AE 1.求证：CO⊥AE 2.若BD=1，AE=4，求圆O的半径

Answer 1

1、延长CO与AE交于F，连结EO，
∵AB是直径，
∴〈ACB=90°，
∵〈CDB=90°，
∴〈CAB=90°-〈CBA，
∴〈BCD=90°-〈CBA，
∴〈CAB=〈BCD，
∵〈BCD=〈ACE/2，
∴〈CAB=〈ACE/2，
∵AO=CO=R，
∴〈OAC=〈OCA，
∴〈ACE=2〈ACO，
∴CO是〈ACE的平分线，
∵CO=OE=R，
∴〈OEC=〈OCE=〈ACO=〈CAO，
∵AO=EO=R，
∴〈OAE=〈OEA，
∴〈CAE=〈CEA，
∴△CAE是等腰△，
∵FC是顶角〈ACE的平分线，
∴CF⊥AE，（等腰△三线合一）。
2、∵〈BCD=〈ACF，
〈CDB=〈CFA=90°，
∴RT△CDB∽RT△CFA，
∴BD/AF=BC/AC，
AF=AE/2=2，
∴BC/AC=1/2，
设BC=x,AC=2x,AB=√5x,
∵〈CBD=〈ABC，（公用角）
〈CDB=〈ACB=90°，
∴RT△CBD∽RT△ABC，
∴BD/BC=BC/AB，
1/x=x/√5x,
x=√5，
AB=√5*√5=5，
∴半径R=AB/2=5/2。

Answer 2

（1）∵AB为⊙O的直径CD⊥AB ∴∠BDC=∠ACB＝90°
易得∠1=∠4 而∠4=∠2 ∴∠1=∠4 =∠2 已知
∠ACE=2∠1 ∴∠ACE=2∠1=2∠2 ∠3=∠2
连接OC 易得∠4 =∠5 ∴△OCA≌△OCE 得CA=CE
∴CQ⊥AE（等腰三角形三线合一）
（2）∠1=∠2 ∠BDC=∠CQA＝90°△CBD∽△CAQ
∴BC：AC = BD：AQ =1:2 （已知AE=4 ）
∴∠1=∠4 =30°（∠ACB= 90° ）∴BC=2，AB=4 ∴半径=2（AQ=2与半径=2有矛盾）