Question

已知圆C:x^2+y^2-4x+6y-12=0,直线L经过点P(-1,3/4)。1.求直线L为切线时的方程2.直线L与圆C

交与A、B两点，AB=8，求直线L的方程
（2）对称轴为x轴，过点（-3，4）的抛物线标准方程为？
（3）直线L过抛物线x^2=4y的焦点且与抛物线交于点A,B。AB中点M的纵坐标是3，线段AB长？

Answer 1

1、圆的方程配方后化为 (x-2)^2+(y+3)^2=25 ，因此圆心 C（2，-3），半径 r=5 ，
（1）由于 P 在圆内，因此过 P 的直线不可能是圆的切线 。
（2）设直线方程为 y=k(x+1)+3/4 ，因为 |AB|=8 ，
所以由勾股定理得圆心到直线的距离为 3 ，
即 |3k+3/4+3|/√(k^2+1)=3 ，
解得 k= -9/40 ，
这样的直线应该有两条，显然直线 x= -1 也满足，
所以，L 的方程为 9x+40y-21=0 或 x= -1 。
2、设方程为 y^2=mx ，代入可得 m= -16/3 ，
因此所求的抛物线的标准方程为 y^2= -16/3*x 。
3、抛物线焦点为（0，1），准线 y= -1 ，
由于 AB 过焦点，且中点 M 的纵坐标是 3 ，
因此 M 到准线的距离为 3+1=4 ，
而 M 到准线的距离恰是 A 、B 到准线距离的等差中项，
所以 A、B 到准线距离之和为 4*2=8 ，
由抛物线定义，这个和恰是 AB 的长 ，
故 AB=8 。